Will Chan | Document1

證明 $\sum_{k=1}^{n}k\binom{n}{k}=n2^{n-1}$ ，其中 $n$ 是正整數。

這道題目是以前香港高考純數試卷中的常客。

~~考評局的評分標準~~老師會教我們考慮二項式定理（Binomial Theorem），得
$(x+1)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^k$

接著，把方程式的兩邊同時對 $x$ 微分，得
$n(x+1)^{n-1}=\sum_{k=1}^{n}k\binom{n}{k}x^{k-1}$

最後，代入 $x=1$ 即完成證明。

或者大家未接觸過純數，讓我們試試用組合數學（Combinatorics）來證明。

先想像一下這個情景：我們要由 $n$ 人之中選出一些人（最少一人、最多全部人）來成立一個委員會，再委派委員會內的其中一人當會長。委員會的組合方法有多少種呢？

根據定義，由 $n$ 人選出 $k$ 人的方法有 $\binom{n}{k}$ 種；而由 k 人之中選出一人當會長的方法有 $k$ 種。因為 $k$ 的取值範圍是由 $1$ 到 $n$ ，所以根據基本的組合數學法則，總共有 $\sum_{k=1}^{n}k\binom{n}{k}$ 種委派方法，這是恆等式的左方。